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大学物理电磁学笔记

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12 静电场

e=1.6×10−19Ce=1.6\times 10^{-19}\rm C

F⃗21=kq1q2r212e⃗r21\vec F_{21}=k\frac{q_1q_2}{r_{21}^2} \vec {e}_{r21}

k=9×109N⋅m2/C2k=9\times 10^9\rm N\cdot m^2/C^2

k=14πε0k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}

ε0=8.85×10−12C2/(N⋅m2)\varepsilon_0=8.85\times 10^{-12}\rm C^2/(N\cdot m^2)

1V/m=1N/C1\rm V/m=1\rm N/C

E=dΦdS⊥E=\frac{\text d \Phi}{\text d S_\perp}

电通量: 通过面元的电场线条数 E⃗⋅dS⃗\vec E\cdot \text d \vec S

∮SE⃗⋅dS⃗=1ε0∑qin\oint_S \vec E\cdot \text d \vec S=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum q_{in}

高斯定律比库仑定律更普遍

典型静电场

球面内 E=0E=0

球面外 E=q4πε01r2E=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0}\frac{1}{r^2}

球体内 E=q4πε0rR3=ρ3ε0rE=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0}\frac{r}{R^3}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0} r

球体外 E=q4πε01r2E=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0}\frac{1}{r^2}

长直导线 E=λ2πε0rE=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}

平面 E=σ2ε0E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}

圆盘周线上的场强 E=σx2ε0[1x2+R12−1x2+R22]E=\frac{\sigma x}{2\varepsilon_0}[\frac{1}{\sqrt{x^2+R_1^2}}-\frac{1}{x^2+R_2^2}]

电偶极子

沿 p⃗\vec p 方向的场强 E⃗=2p⃗4πε0r3\vec E=\frac{2\vec p}{4\pi \varepsilon_0 r^3}

中垂线上的场强 E⃗=−p⃗4πε0r3\vec E=-\frac{\vec p}{4\pi \varepsilon_0 r^3}

一般情况场强 E⃗=14πε0r3[3(r⃗⋅p⃗)r⃗r2−p⃗]\vec E=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0 r^3}[\frac{3(\vec r\cdot \vec p)\vec r}{r^2}-\vec p]

力矩 M⃗=p⃗×E⃗\vec M=\vec p\times \vec E

13 电势

∮E⃗⋅dr⃗=0\oint\vec E\cdot \text d \vec r=0

U12=φ1−φ2U_{12}=\varphi_1-\varphi_2

φ=∫P∞E⃗⋅dr⃗\varphi=\int_P^{\infty}\vec E\cdot \text d \vec r

1V=1J/C1\text V = 1\rm J/C

E⃗=−∇φ\vec E=-\nabla \varphi

一个电荷在电场中某点的电势能, 是属于该电荷与产生电场的电荷系所共有的, 是一种相互作用能

1eV=1.6×10−19J1\text e\text V=1.6\times 10^{-19}\rm J

电荷系在原来状态的静电能: 将电荷分散到无穷远 电荷间静电力所做的功

W=12∑qiφi=12∫qφdqW=\frac{1}{2}\sum q_i \varphi_i=\frac{1}{2}\int_q \varphi \text d q

静电学中上式与 W=∫VwedV=∫Vε0E22dVW=\int_V w_e \text d V=\int_V \frac{\varepsilon_0 E^2}{2}\text d V 等价

电偶极子电势 φ=pcos⁡θ4πε0r2=p⃗⋅e⃗r4πε0r2\varphi=\frac{p\cos \theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2}=\frac{\vec p\cdot \vec e_r}{4\pi\varepsilon_0 r^2}

14 静电场中的导体

导体静电平衡的条件: E⃗in=0⃗,E⃗S⊥表面\vec E_{in}=\vec{0}, \vec E_S \perp 表面

处于静电平衡的导体: σ=ε0E\sigma=\varepsilon_0 E

有导体存在时静电场的计算: 静电场的基本规律, 电荷守恒, 导体静电平衡条件

静电屏蔽: 金属空壳的外表面上及壳外的电荷在壳内的合场强为 0, 因而对壳内无影响

唯一性定理：在给定条件下, 空间的电场分布和导体表面的电荷分布是唯一确定的 * (1) 给定每个导体的总电量 * (2) 给定每个导体的电势 * (3) 给定一些导体的总电量和另一些导体的电势

可简述为: 给定边界条件后, 静电场的分布就唯一地确定了

镜像法求电场

15 静电场中的介质

将介质插入电容器 U=U0/εr E=E0/εr εr>1U=U_0/\varepsilon_r\ E=E_0/\varepsilon_r\ \varepsilon_r>1

电荷分布不对称的分子: 极性分子, 有固有电矩

正负电荷中心重合: 非极性分子, 无固有电矩. 外加电场会产生比固有电矩小得多的感生电矩

出现在电介质表面的电荷叫面束缚电荷 / 面极化电荷

分子电矩 p⃗=ql⃗\vec p=q\vec l

电极化强度: 单位体积内分子电矩矢量和 p⃗=∑p⃗iΔV\vec p=\frac{\sum \vec p_i}{\Delta V}

P⃗=np⃗\vec P=n\vec p, nn 为电介质单位体积内的分子数, 单位 C/m2\rm C/m^2

电极化强度 P⃗=ε0(εr−1)E⃗\vec P=\varepsilon_0(\varepsilon_r -1)\vec E

电极化率 χ=εr−1\chi =\varepsilon_r -1

面束缚电荷 σ′=P⃗⋅e⃗n\sigma ' = \vec P\cdot\vec e_n e⃗n\vec e_n 由介质指向真空

体束缚电荷 qin′=−∮P⃗⋅dS⃗q_{in} '=-\oint \vec P\cdot\text d\vec S

ρ′=−∇⋅P⃗\rho'=-\nabla \cdot \vec P

电位移 D⃗=ε0E⃗+P⃗\vec D=\varepsilon_0 \vec E+\vec P

∮D⃗⋅dS⃗=∑q0in\oint \vec D\cdot \text d \vec S=\sum q_{0in} q0inq_{0in} 是自由电荷

D⃗=εE⃗=ε0εrE⃗\vec D=\varepsilon \vec E=\varepsilon_0\varepsilon_r \vec E

边界条件 E1t=E2tE_{1t}=E_{2t} D1n=D2nD_{1n}=D_{2n}

电容器 C=QUC=\frac{Q}{U}

电容器并联相加, 串联倒数相加

电介质填充两种规律 * (1) 按等势面填充: D⃗\vec {D} 不变, E⃗\vec {E} 变 * (2) 按电场线填充: D⃗\vec {D} 变, E⃗\vec {E} 的分布“样子”不变

电容器的能量 W=12CU2=12QU=12Q2CW=\frac{1}{2}CU^2=\frac{1}{2}QU=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}

电场中的能量体密度 we=12DE=12εE2w_e=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}\varepsilon E^2

电场中的能量 W=∫12εE2dVW=\int \frac{1}{2}\varepsilon E^2 \text d V

电容器公式

平行板电容器 C=εSdC=\frac{\varepsilon S}{d}

圆柱形电容器 C=2πLεln⁡(R2/R1)C=\frac{2\pi L\varepsilon}{\ln (R_2/R_1)}

球形电容器 C=4πR1R2εR2−R1C=\frac{4\pi R_1 R_2 \varepsilon}{R_2-R_1}

球形孤立导体电容器 C=4πRεC=4\pi R\varepsilon

16 恒定电流

电流 II 又叫电流强度

电流密度 dI=J⃗⋅dS⃗\text d I=\vec J\cdot \text d \vec S

电流 / 电流密度通亮 I=∫Sj⃗⋅dS⃗I=\int_S \vec j \cdot \text d \vec S

J⃗=qnv⃗\vec J=qn\vec v

I=∫SJ⃗⋅dS⃗=−dqindtI=\int_S \vec J\cdot \text d \vec S=-\frac{\text d q_{in}}{\text d t}

微分形式 ∂ρ∂t+∇⋅j⃗=0\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot \vec j=0

若 ∮SJ⃗⋅dS⃗=0\oint_S \vec J\cdot \text d \vec S=0, 则 I 为恒定电流

恒定电场与静电场都服从高斯定律和场强环路积分为零的环路定理

R=ρlS=lσSR=\rho\frac{l}{S}=\frac{l}{\sigma S}

J⃗=σE⃗\vec J=\sigma \vec E

物质导电性能方程 j⃗=σ⋅E⃗\vec j=\sigma\cdot\vec E

j⃗=σ⋅E⃗\vec j=\sigma\cdot\vec E 比 U=IRU=IR 适用范围更广, 对非均匀导体成立, 对非稳恒电流也成立

稳恒电流和静电场的综合求解的基本方程:

稳恒条件 ∮SJ⃗⋅dS⃗=0\oint_S \vec J\cdot \text d \vec S=0

环路定理 ∮E⃗⋅dl⃗=0\oint \vec E\cdot \text d\vec l=0

欧姆定律 j⃗=σ⋅E⃗\vec j=\sigma\cdot\vec E

界面关系 j1n=j2nj_{1n}=j_{2n}, E1t=E2tE_{1t}=E_{2t}

电容器充电和放电

充电

q=Cε(1−e−tRC)q=C\varepsilon(1-e^{-\frac{t}{RC}})

i=εRe−tRCi=\frac{\varepsilon}{R}e^{-\frac{t}{RC}}

uc=ε(1−e−tRC)u_c=\varepsilon(1-e^{-\frac{t}{RC}})

放电

q=Qe−tRCq=Qe^{-\frac{t}{RC}}

i=QRCe−tRCi=\frac{Q}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}

uc=QCe−tRCu_c=\frac{Q}{C}e^{-\frac{t}{RC}}

电容器时间常量 τ=RC\tau =RC 若回路的线度比距离 cτc\tau 小得多，电场可按恒定电场处理

例题

在平行板电容器内填充两层导电介质, 厚度、介电常数和电导率分别为 (d1,ε1,σ1)(d_{1}, \varepsilon_{1}, \sigma_{1})

和（d2,ε2,σ2d_2, \varepsilon_{2}, \sigma_{2} ），设电容器两端电压为 U⃗\vec{U}

求:

  • (1)两介质中的电流密度和电场强度。
  • (2)介质分界面上的总电荷面密度 σe\sigma_{e} 和自由电荷面密度 σe0\sigma_{e 0}

解:

(1)由对称性和界面关系: j1=j2=jj_{1}=j_{2}=j

电场强度: E1=jσ1,E2=jσ2\quad E_{1}=\frac{j}{\sigma_{1}}, \quad E_{2}=\frac{j}{\sigma_{2}}

电压关系: U=E1d1+E2d2\quad U=E_{1} d_{1}+E_{2} d_{2}

解得: j1=j2=j=σ1σ2σ1d2+σ2d1U\quad j_{1}=j_{2}=j=\frac{\sigma_{1} \sigma_{2}}{\sigma_{1} d_{2}+\sigma_{2} d_{1}} U

E1=σ2σ1d2+σ2d1U,E2=σ1σ1d2+σ2d1UE_{1}=\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1} d_{2}+\sigma_{2} d_{1}} U, \quad E_{2}=\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{1} d_{2}+\sigma_{2} d_{1}} U

(2)在界面选扁柱画作少高斯面 SS

分别用 E⃗\vec{E} 和 D⃗\vec{D} 的高斯定理:

σe=ε0(E2−E1)=ε0(σ1−σ2)σ1d2+σ2d1U\sigma_{e}=\varepsilon_{0}\left(E_{2}-E_{1}\right)=\frac{\varepsilon_{0}\left(\sigma_{1}-\sigma_{2}\right)}{\sigma_{1} d_{2}+\sigma_{2} d_{1}} U

σe0=D2−D1=ε2E2−ε1E1=ε2σ1−ε1σ2σ1d2+σ2d1U\sigma_{e 0}=D_{2}-D_{1}=\varepsilon_{2} E_{2}-\varepsilon_{1} E_{1}=\frac{\varepsilon_{2} \sigma_{1}-\varepsilon_{1} \sigma_{2}}{\sigma_{1} d_{2}+\sigma_{2} d_{1}} U

17 磁场和它的源

在所有情况下, 磁力都是运动电荷之间相互作用的表现.

洛伦兹力 磁感应强度 F⃗=qv⃗×B⃗\vec F=q\vec v\times\vec B

1T=104G1\text T=10^4\rm G

磁通量 Φ=∫SB⃗⋅dS⃗\Phi=\int_S \vec B\cdot\text d\vec S

毕奥 - 萨伐尔定律 dB⃗=μ04πIdl⃗×e⃗rr2\text d \vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\text d\vec l\times\vec e_r}{r^2}

真空磁导率 μ0=1ε0c2=4π×10−7N/A2\mu_0=\frac{1}{\varepsilon_0 c^2}=4\pi\times 10^{-7}\rm N/A^2

c=1μ0ε0c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}

磁通连续性定理 ∮B⃗⋅dS⃗=0\oint \vec B\cdot\text d\vec S=0

dB⃗=μ04πqv⃗×e⃗rr2\text d \vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\vec v\times\vec e_r}{r^2}

安培环路定理 ∮B⃗⋅dr⃗=μ0∑Iin\oint \vec B\cdot \text d \vec r =\mu_0\sum I_{in}

∮B⃗⋅dr⃗=μ0∫S(J⃗c+ε0∂E⃗∂t)⋅dS⃗\oint\vec B\cdot\text d\vec r=\mu_0\int_S\left(\vec J_c+\varepsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial t}\right)\cdot \text d \vec S

传导电流 IcI_c

位移电流 Id=ε0dΦdt=ε0ddt∫SE⃗⋅dS⃗I_d=\varepsilon_0 \frac{\text d\Phi}{\text d t}=\varepsilon_0\frac{\text d}{\text d t}\int_S\vec E\cdot \text d\vec S

位移电流密度 J⃗d=ε0∂E⃗∂t\vec J_d=\varepsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial t}

全电流 I=Ic+IdI=I_c+I_d

典型电流分布的磁场

无限长直电流 B=μ0I2πrB=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}

一段直导线 B=μ0I4πr(cos⁡θ1−cos⁡θ2)B=\frac{\mu_0 I}{4\pi r}(\cos \theta_1-\cos \theta_2)

无限长均匀载流薄圆筒 B内=0,B外=μ0I2πrB_ 内 =0, B_ 外 =\frac{\mu_0 I}{2\pi r}

无限长直载流密绕螺绕管 / 螺绕环 B内=μ0nI,B外=0B_ 内 =\mu_0 n I, B_ 外 =0 对于螺绕环 n=N2πrn=\frac{N}{2\pi r}

无限大平面电流 B⋅2l=μ0jlB\cdot 2l=\mu_0 j l

圆电流圈中心点和轴线上的磁场 B中心=μ0I2R,B轴线=μ0IS2π(R2+x2)3/2B_{中心}=\frac{\mu_0 I}{2R}, B_{轴线}=\frac{\mu_0 IS}{2\pi(R^2+x^2)^{3/2}}

磁矩

B⃗=μo4πr3[3(r⃗⋅m⃗)r⃗r2−m⃗],(r>>磁矩线度)\vec B=\frac{\mu_o}{4\pi r^3}[\frac{3(\vec r\cdot \vec m)\vec r}{r^2}-\vec m], (r>> 磁矩线度)

磁矩、电流圈在外磁场中的势能 W=−m⃗B⃗外=−IS⋅B⃗外W=-\vec m\vec B_ 外 =-IS\cdot \vec B_ 外

例题

半径 RR 的圆形平行板电容器内充满介电 常数 ε\varepsilon 、磁导率 μ\mu 的均匀介质，如图已知电容器充电时的 dEdt\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} t} 及其方向，忽略边缘效应

求:idi_d和BpB_p (r<R)(r<R)

对圆面 SS 有:

\(I_{d} =\iint_{S} \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \cdot \mathbf{d} \vec{S}=\iint_\vec{s}\varepsilon\frac{\mathbf{d} \vec{E}}{\mathbf{d} t}\mathbf{d} \vec{S}=\varepsilon \frac{\mathbf{d}\vec{E}}{\mathbf{d} t}\pi R^2\)

过 P点垂直轴线作环形回路 LL, 方向和圆面 S′S^{\prime} 成右手关系:

∮LH⃗⋅dl⃗=H⃗⋅2⃗πr⃗=∑I⃗d内\oint_{L} \vec{H} \cdot \mathbf{d} \vec{l}=\vec{H} \cdot \vec{2} \pi \vec{r}=\sum \vec{I}_{d内}

∑Id内=∬S′∂D⃗∂t⋅dS⃗=πr2ε⃗dE⃗dt\sum I_{d内}=\iint_{S^{\prime}} \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \cdot \mathbf{d} \vec{S}=\pi r^{2} \vec{\varepsilon} \frac{\mathbf{d} \vec{E}}{\mathbf{d} t}

HP=εr2dEdtH_{P}=\frac{\varepsilon r}{2} \frac{d E}{d t}

BP=μHP=μεr2⋅dEdtB_{P}=\mu H_{P}=\frac{\mu \varepsilon r}{2} \cdot \frac{d E}{d t}

18 磁力

r=mvBqr=\frac{mv}{Bq}

T=2πmBqT=\frac{2\pi m}{Bq}

螺旋运动的螺距 h=2πmBqv//h=\frac{2\pi m}{Bq}v_{//}

霍尔效应 UH=IBnqbU_H=\frac{IB}{nqb}

F⃗=∫LIdl⃗×B⃗\vec F=\int_L I\text d \vec l\times \vec B

磁矩 m⃗=SIe⃗n\vec m=SI\vec e_n

力矩 M⃗=m⃗×B⃗\vec M=\vec m\times \vec B

19 磁场中的磁介质

B=μrB0B=\mu_r B_0, μ0\mu_0 为相对磁导率

磁化强度 M⃗=∑m⃗iΔV\vec M=\frac{\sum \vec m_i}{\Delta V}

M⃗=μr−1μ0μrB⃗\vec M=\frac{\mu_r-1}{\mu_0\mu_r}\vec B

面束缚电流密度 j⃗′=M⃗×e⃗n\vec j'=\vec M\times \vec e_n

总束缚电流 I′=∮dI′=∮LM⃗⋅dr⃗I'=\oint \text d I'=\oint_L\vec M\cdot \text d \vec r

磁感应强度 B⃗=B⃗0+B⃗′\vec B=\vec B_0+\vec B'

磁场强度 H⃗=B⃗μ=B⃗μ0−M⃗\vec H=\frac{\vec B}{\mu}=\frac{\vec B}{\mu_0}-\vec M

∮LH⃗⋅dr⃗=∑I0in\oint_L \vec H\cdot \text d \vec r=\sum I_{0in}

磁场的边界条件 H1t=H2tH_{1t}=H_{2t}, B1n=B2nB_{1n}=B_{2n}

磁感线穿过两介质分界面 tan⁡θ1tan⁡θ2=μr1μr2\frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2}=\frac{\mu_{r1}}{\mu_{r2}}

用封闭铁盒可以实现磁屏蔽

20 电磁感应

感应电动势 E=dΨdt=−NdΦdt\mathscr{E}=\frac{\text d \Psi}{\text dt}=-N\frac{\text d \Phi}{\text d t}

当穿过各匝线圈的磁通量相等时,N 匝线圈的全磁通为 Ψ=NΦ\Psi=N\Phi

动生电动势 E=∮L(v⃗×B⃗)dl⃗\mathscr E=\oint_L(\vec v\times\vec B)\text d\vec l

∣E∣=Blv|\mathscr E|=Blv

感生电动势 ∮LE⃗i⋅dl⃗=−dΦdt=−∫S∂B⃗∂t⋅dS⃗\oint_L\vec E_i\cdot \text d\vec l=-\frac{\text d\Phi}{\text dt}=-\int_S \frac{\partial \vec B}{\partial t}\cdot \text d\vec S

其中 EiE_i 表示感生电场, 由于静电场的环路积分为零, 所以

∮LE⃗⋅dr⃗=−∫S∂B⃗∂t⋅dS⃗\oint_L\vec E\cdot \text d\vec r=-\int_S \frac{\partial \vec B}{\partial t}\cdot \text d\vec S

Ψ21=M21i1\Psi_{21}=M_{21}i_1

E12=−dΨ21dt=−M21didt\mathscr E_{12}=-\frac{\text d\Psi_{21}}{\text dt}=-M_{21}\frac{\text di}{\text dt}

M21M_{21} 是回路 L1L_1 对回路 L2L_2 的互感系数, 固定回路的互感系数是一个常数,M21=M12=MM_{21}=M_{12}=M, MM 称作这两个导体回路的互感系数, 简称他们的互感

EL=−dΨdt=−Ldidt\mathscr E_{L}=-\frac{\text d\Psi}{\text dt}=-L\frac{\text di}{\text dt}, L=ΨiL=\frac{\Psi}{i} 为自感系数, 简称自感

自感磁能 Wm=12LI2W_m=\frac{1}{2}LI^2

磁场的能量 Wm=B22μV=∫BH2dVW_m=\frac{B^2}{2\mu}V=\int \frac{BH}{2}\text dV

磁能量密度 wm=12BHw_m=\frac{1}{2}BH

21 麦克斯韦方程组和电磁辐射

真空中的电磁场规律

{∮SE⃗⋅dS⃗=qε0=1ε0∫VρdV∮SB⃗⋅dS⃗=0∮LE⃗⋅dr⃗=−dΦdt=−∫S∂B⃗∂t⋅dS⃗∮LB⃗⋅dr⃗=μ0I+1c2dΦedt=μ0∫s(J⃗+ε0∂E⃗∂t)⋅dS⃗} \left\{\begin{array}{l} \oint_{S} \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{S}=\frac{q}{\varepsilon_{0}}=\frac{1}{\varepsilon_{0}} \int_{V} \rho \mathrm{d} V \\ \oint_{S} \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{S}=0 \\ \oint_{L} \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{r}=-\frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} t}=-\int_{S} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot \mathrm{d} \vec{S} \\ \oint_{L} \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{r}=\mu_{0} I+\frac{1}{c^{2}} \frac{\mathrm{d} \Phi_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d} t}=\mu_{0} \int_{s}\left(\vec{J}+\varepsilon_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right)\cdot \mathrm{d} \vec{S} \end{array} \right\}

有介质的情况下

{∮SD⃗⋅dS⃗=∫Vρ0dV∮SB⃗⋅dS⃗=0∮LE⃗⋅dr⃗=−∫S∂B⃗∂t⋅dS⃗∮LH⃗⋅dr⃗=∫S(j⃗0+∂D⃗∂t)⋅dS⃗} \left\{\begin{array}{l} \oint_{S} \vec{D} \cdot \mathrm{d} \vec{S}=\int_{V} \rho_0 \mathrm{d} V \\ \oint_{S} \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{S}=0 \\ \oint_{L} \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{r}=-\int_{S} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot \mathrm{d} \vec{S} \\ \oint_{L} \vec{H} \cdot \mathrm{d} \vec{r}=\int_{S}\left(\vec{j}_0+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\right)\cdot \mathrm{d} \vec{S} \end{array} \right\}

表述为微分形式

{∇⋅D⃗=ρ0∇⋅B⃗=0∇×E⃗=−∂B⃗∂t∇×H⃗=j⃗0+∂D⃗∂t} \left\{\begin{array}{l} \nabla \cdot \vec{D}=\rho_0 \\ \nabla \cdot \vec{B}=0 \\ \nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \vec{H}=\vec{j}_0+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \end{array} \right\}

对于各向同性的线形介质, 有

D⃗=ε0εrE⃗,B⃗=μ0μrH⃗,j⃗0=σE⃗ \vec{D}=\varepsilon_{0} \varepsilon_{\mathrm{r}} \vec{E}, \quad \vec{B}=\mu_{0} \mu_{\mathrm{r}} \vec{H}, \quad \vec{j}_0=\sigma \vec{E}

洛伦兹力公式

F⃗=qE⃗+qv⃗×B⃗\vec{F}=q\vec{E}+q\vec{v}\times\vec{B}

界面关系

{E1t=E2tD1n−D2n=σ0H1t−H2t=(i0⃗×en⃗)⋅et⃗B1n=B2n} \left\{\begin{array}{l} E_{1t}=E_{2t}\\ D_{1n}-D_{2n}=\sigma_0\\ H_{1t}-H_{2t}=(\vec{i_0}\times\vec{e_n})\cdot\vec{e_t}\\ B_{1n}=B_{2n} \end{array} \right\}

平面电磁波是横波

右手关系 E⃗E×H⃗H=u⃗u\frac{\vec{E}}{E}\times\frac{\vec H}{H}=\frac{\vec u}{u}

振幅关系 μH=εE\sqrt{\mu}H=\sqrt{\varepsilon}E

EB=1εμ=u\frac{E}{B}=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}=u

波速、折射率 u=1εμu=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}} c=1ε0μ0c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} n=εrμrn=\sqrt{\varepsilon_r\mu_r} u=cnu=\frac{c}{n} (对于非铁磁质 n=εrμr≈εrn=\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}\approx\sqrt{\varepsilon_r})平面电磁波的能量密度 w=εE2=EHuw=\varepsilon E^2=\frac{EH}{u}

单位时间内通过与传播方向垂直的单位面积的能量, 叫电磁波的能流密度, 其时间平均值就是电磁波的强度. 能流密度矢量 S⃗\vec S 又被称作波印亭矢量

S⃗=E⃗×H⃗\vec S=\vec E\times\vec H

S⃗//\vec S_{//} 沿导线由电源传向负载

S⃗⊥\vec S_{\perp} 沿径向由外向内传播，补偿导线的焦耳热损耗

电磁波质量密度 m=wc2=EHc2um=\frac{w}{c^2}=\frac{EH}{c^2u}

电磁波动量密度 g⃗=mu⃗=1c2E⃗×H⃗=S⃗c2\vec g=m\vec u=\frac{1}{c^2}\vec E\times\vec H=\frac{\vec S}{c^2}

辐射压强 全反射 pr=2g⋅c=2EHcp_r=2g\cdot c=2\frac{EH}{c} 全吸收 pr′=g⋅c=EHcp_r'=g\cdot c=\frac{EH}{c}